\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)

\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)

c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

Ta chứng minh: \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)

Thật vậy, ta có:

\(a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(Đúng theo Cauchy)

Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)

\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3c$

Cộng theo vế thu được:

$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$

Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)

\(=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cô-si :

\(\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)

Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta có :

\(VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)}{2}\)

\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT BSC:

\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)(*)   (Do a+b+c = 3)

Ta sẽ c/m BĐT (*) luôn đúng. Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm:

\(a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge3\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}.\sqrt{a}}=3a\Rightarrow a^2+2\sqrt{a}\ge3a\)

Tương tự: \(b^2+2\sqrt{b}\ge3b;c^2+2\sqrt{c}\ge3c\)

Cộng 3 BĐT trên theo vế thì có: \(a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

=> BĐT (*) luôn đúng với mọi a,b,c > 0 t/m a+b+c=3 => BĐT ban đầu đúng

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1.

a) Ta có BĐT:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

cảm ơn ạ

câu 1 . Theo bđt côsi ta có \(a^3+b^3\ge ab(a+b)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}\)

tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc(a+b+c)}\)và\(\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{b}{abc(a+b+c)}\)

Cộng vế theo vế ta có  \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{b^3+a^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

các bạn giúp mình nha càng nhanh càng tốt

Chờ mình nhé